已知函数f(x)=asinx-x+b(a、b均为正常数).(

2017-11-28

已知函数f(x)=asinx-x+b(a、b均为正常数).

(1)证明函数f(x)在(0,a+b]内至少有一个零点;

(2)设函数f(x)在处有极值,对于一切,不等式f(x)>sinx+cosx总成立,求b的取值范围.

解:(1)∵f(0)=b>0…

f(a+b)=asin(a+b)-(a+b)+b=a[sin(a+b)-1]≤0…

∴函数f(x)在(0,a+b]内至少有一个零点…

(2)∵f(x)=asinx-x+b,∴f'(x)=acosx-1…

由题意得,即

问题等价于b>x+cosx-sinx对一切恒成立…

记g(x)=x+cosx-sinx,

∴g'(x)≤0,即g(x)在上是减函数…

∴g(x)max=g(0)=1,于是b>1,故b的取值范围是(1,+∞)…

分析:(1)函数f(x)=asinx-x+b在(0,a+b]内至少有一个零点,代入f(0)和f(a+b)利用零点定理进行求解;

(2)对f(x)进行求导,利用函数f(x)在处有极值,可得f′()=0,求出a的值,将问题转化为b>x+cosx-sinx对一切恒成立,利用常数分离法进行求解;

点评:此题主要考查函数的零点定理以及函数的恒成立问题,利用导数研究函数的最值和极值问题,是一道基础题;

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