如图,在平面直角坐标系中,直线y=-x-与x轴交于点A,与y

2018-07-20

如图,在平面直角坐标系中,直线y=-x-与x轴交于点A,与y轴交于点C,抛物线y=ax2-x+c(a≠0)经过A,B,C三点.

(1)求过A,B,C三点抛物线的解析式并求出顶点F的坐标;

(2)在抛物线上是否存在点P,使△ABP为直角三角形?若存在,直接写出P点坐标;若不存在,请说明理由;

(3)试探究在直线AC上是否存在一点M,使得△MBF的周长最小?若存在,求出M点的坐标;若不存在,请说明理由.

解:(1)∵直线y=-x-与x轴交于点A,与y轴交于点C

∴点A(-1,0),C(0,-

∵点A,C都在抛物线上,

∴抛物线的解析式为y=x2-x-

∴顶点F(1,-).

(2)存在:

p1(0,-),p2(2,-).

(3)存在

理由:

解法一:

延长BC到点B′,使B′C=BC,连接B′F交直线AC于点M,则点M就是所求的点,

∵过点B′作B′H⊥AB于点H,

∵B点在抛物线y=x2-x-上,

∴B(3,0),

在Rt△BOC中,tan∠OBC=

∴∠OBC=30°,BC=2

在Rt△B′BH中,B′H=BB′=2

BH=B′H=6,∴OH=3,

∴B′(-3,-2).

设直线B′F的解析式为y=kx+b,

解得

∴y=

解得

∴M(

∴在直线AC上存在点M,使得△MBF的周长最小,此时M().

解法二:

过点F作AC的垂线交y轴于点H,则点H为点F关于直线AC的对称点,连接BH交AC于点M,则点M

即为所求.

过点F作FG⊥y轴于点G,则OB∥FG,BC∥FH,

∴∠BOC=∠FGH=90°,∠BCO=∠FHG

∴∠HFG=∠CBO

同方法一可求得B(3,0)

在Rt△BOC中,tan∠OBC=

∴∠OBC=30°,可求得GH=GC=

∴GF为线段CH的垂直平分线,可证得△CFH为等边三角形

∴AC垂直平分FH

即点H为点F关于AC对称点,

∴H(0,-

设直线BH的解析式为y=kx+b,由题意得,

解得

∴y=

解得

∴M(),

∴在直线AC上存在点M,使得△MBF的周长最小,此时M().

分析:(1)抛物线解析式中有两个待定系数a,c,根据直线AC解析式求点A、C坐标,代入抛物线解析式即可;

(2)分析不难发现,△ABP的直角顶点只可能是P,根据已知条件可证AC2+BC2=AB2,故点C满足题意,根据抛物线的对称性,点C关于抛物线对称轴的对称点也符合题意;

(3)由于B,F是定点,BF的长一定,实际上就是求BM+FM最小,找出点B关于直线AC的对称点B',连接B'F,交AC于点M,点M即为所求,由(2)可知,BC⊥AC,延长BC到B',使BC=B'C,利用中位线的性质可得B'的坐标,从而可求直线B'F的解析式,再与直线AC的解析式联立,可求M点坐标.

点评:考查代数几何的综合运用能力,体现数学知识的内在联系和不可分割的特点.

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